Аксиомы кольца. Простейшие свойства колец. Подгруппа. критерий подгруппы
Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:
1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;
2) относительно операции умножения К - полугруппа;
3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).
Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.
Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.
Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.
Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.
1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.
Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.
2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.
3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены
с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.
4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами
(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
где + и - операции в кольце К.
Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.
Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .
Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:
1) для всех a a 0=0 a=0;
2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;
3) - a=(-1)a .
Действительно:
2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));
3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .
Поле
В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .
Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.
1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.
2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:
(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);
(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).
Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .
Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).
Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.
Действительно, умножение в К
ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а
и b
обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .
Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.
Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.
Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:
Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.
1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.
8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.
8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.
8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:
а) множество целых чисел;
б) множество рациональных чисел;
в) множество действительных чисел, отличных от нуля.
8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:
а) группу;
б) кольцо;
8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:
а) некоммутативное кольцо;
б) коммутативное кольцо;
8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:
а) кольцо;
8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:
8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:
ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.
а) группу;
б) абелеву группу.
8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.
8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.
называется порядком элемента а. Если такого n не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка.
Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если a G и G конечная группа, то a |G| =e .
Примем без доказательства.
Напомним, что каждая группа G, ° является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы.
Подмножество G 1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G 1 , ° является группой.
Можно доказать, что непустое подмножество G 1 множества G является подгруппой группы G, ° тогда и только тогда, когда множество G 1 вместе с любыми элементами а и b содержит элемент а° b -1 .
Можно доказать следующую теорему.
Теорема 2.8 . Подгруппа циклической группы является циклической.
§ 7. Алгебра с двумя операциями. Кольцо
Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями.
Кольцом называется непустое множество R , на котором введены две бинарные операции + и ° , называемые сложением и умножением такие, что:
1) R; + является абелевой группой;
2) умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для
a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(а ° c) и (а +b)° c= (a° c)+(b° c).
Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a ° b=b ° a .
Кольцо записываем как R; +, ° .
Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:
0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.
Тогда получаем, что
x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 для х R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 для y R.
Итак, мы показали, что для х R: x ° 0 = 0° х = 0. Однако из равенства x ° y=0 не следует, что х= 0 или у= 0. Покажем это на примере.
Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ ϕ (x) и f(x)· ϕ (x) . Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C . Рассмотрим функцию f(x) и ϕ (x) , изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡ / 0 и ϕ (x) ≡ / 0, но f(x)· ϕ (x) ≡0.
Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a ° 0= 0 для a R и на примере показали, что может быть, что a ° b= 0 для a ≠ 0 и b ≠ 0.
Если в кольце R имеем, что a ° b= 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.
f(x)·ϕ(x)≡0 |
|||||
ϕ (x) |
Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.
Легко видеть, что
0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y
и поэтому x ° (-y)=(-x) ° y является обратным элементом для элемента х° у, т.е.
х ° (-у ) = (-х )° у = -(х ° у ).
Аналогично можно показать, что (- х) ° (- у) = х° у.
§ 8. Кольцо с единицей
Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.
Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а-1 .
Теорема 2.9 . Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R .
Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а° 0= 0 и а° 1= а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0= 1, то и их произведения на а совпадали бы.
Теорема 2.10 . Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.
Доказательство. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 для а R . Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.
Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k
такое, что a + a + ... + a = 0 для всех a R . Характеристика кольца
k − раз
записывается k=char R . Если указанного числа k не существует, то полагаем char R= 0.
Пусть Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.
Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.
Кольцо непрерывных на функций (кольцо C ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на . Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C= 0.
Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R= 2M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+ В= А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили
кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А R , имеем: А+ А = А А= . Следовательно, charR = 2.
§ 9. Поле
Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.
Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.
Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+ » и «° », называемыми сложением и умножением, такими, что:
1) сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;
2) существует аддитивная единица: 0 P, что для a P: a+0 =0 +a=a;
3) существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:
(-a)+a=a+(-a)=0;
4) сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a ;
(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);
5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;
6) существует мультипликативная единица: 1 P , что для a P:
1 ° a=a° 1 =a;
7) для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению: для a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;
8) умножение коммутативно: для a,b P: a ° b=b ° a ;
(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);
9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).
Примеры полей:
1) R;+, - поле вещественных чисел;
2) Q;+, - поле рациональных чисел;
3) C;+, - поле комплексных чисел;
4) пусть Р 2 ={0,1}. Определим, что 1 +2 0=0 +2 1=1,
1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F 2 = P 2 ;+ 2 , является полем и называется двоичной арифметикой.
Теорема 2.11 . Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а° х=b .
Доказательство . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b
Fsb4000 писал(а):
2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп
Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.
Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.
Предположите, что --- делимая группа и --- максимальная подгруппа в . Рассмотрите
Докажите, что --- подгруппа в , содержащая . В силу максимальности возможны только два случая: или .
Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае возьмите и докажите, что
есть собственная подгруппа в , содержащая и не равная . В случае зафиксируйте и , такие что и покажите, что
является собственной подгруппой в , содержащей и не совпадающей с .
Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:
Fsb4000 писал(а):
б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?
Самый простой пример --- это . Ну или , --- что Вам больше нравится.
Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что --- конечная группа. Докажите, что для некоторого и всех . Потом возьмите такое и узрите, что уравнение неразрешимо при ненулевом .
Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:
Fsb4000 писал(а):
4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ()(), в котором нет максимальных идеалов.
Возьмите абелеву группу . Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:
Покажите, что для выполняется всё, что надо.
Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен . Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!
Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:
Fsb4000 писал(а):
1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.
по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.
Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"...
Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!
Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте
Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:
Alexiii писал(а):
Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...
Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!
Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!
Максимальным идеалом кольца, по определению , называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов . Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!
Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:
Alexiii писал(а):
Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.
Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце
А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУППЫ.
Опр1 .Пусть G не пустое множество элементов произвольной природы. G называется группой
1) На множестве G задана бао °.
2) бао ° ассоциативна.
3) Существует нейтральный элемент nÎG.
4) Для любого элемента из G симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит такжеG.
Пример. Множество Z – чисел с операцией +.
Опр2 .Группа называется абелевой , если она коммутативна относительно заданной бао °.
Примеры групп:
1) Z,R,Q «+» (Z+)
Простейшие свойства групп
В группе существует единственный нейтральный элемент
В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент
Пусть G - группа с бао °, тогда уравнения вида:
a°x=b и x°a=b (1) - разрешимы и имеют единственное решение.
Доказательство . Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а". Так как операция ° - ассоциативна, то очевидно x=b°a" - единственное решение.
34. ЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ*
Определение 1 . Подстановка называется четной , если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.
Предложение 1 .Подстановка
Является четной <=> - четная перестановка. Следовательно, количество четных подстановок
из n чисел равно n!\2.
Предложение 2 . Подстановки f и f - 1 имеют один характер четности.
> Достаточно проверить, что если - произведение транспозиций, то <
Пример:
ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.
Опр. Пусть G - группа c бао ° и не пустое подмножество HÌG, тогда H называют подгруппой группы G, если H -подгруппа относительно бао° (т.е. ° - бао на Н. И Н с этой операцией группа).
Теорема (критерий подгруппы). Пусть G - группа относительно операции°, ƹHÎG. H является подгруппой <=> "h 1 ,h 2 ÎH выполняется условие h 1 °h 2 "ÎH (где h 2 " - симметричный элемент к h 2).
Док-во. =>: Пусть H - подгруппа (нужно доказать, что h 1 °h 2 "ÎH). Возьмем h 1 ,h 2 ÎH, тогда h 2 "ÎH и h 1 °h" 2 ÎH (так как h" 2 - симметричный элемент к h 2).
<=: (надо доказать, что H - подгруппа).
Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h"ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h 1 берем n, а в качестве h 2 возьмём h тогда h"ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.
Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.
Возьмём h 1 , а в качестве h 2 возьмём h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.
Пример. G=S n , n>2, α - некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S α n ={fÎ S n ,f(α)=α}, при действии отображения из S α n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h 1 ,h 2 ÎH. Произведение h 1 . h 2 "ÎH, т.е H - подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.
КОЛЬЦО, ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ.
Опр. Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К называется кольцом , если выполняются следующие условия:
1) К- абелевагруппа(коммутативна относительно заданной бао °) относительно сложения;
2) умножение ассоциативно;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения().
Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом . Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей .
Примеры.
1)Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.
2) Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями
относительно обычных операций сложения и умножения чисел.
Простейшие свойства колец.
1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К переносятся простейшие свойства групп.
2. Умножение дистрибутивно относительно разности: a(b-c)=ab-ac.
Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то a(b-c)=ab-ac.
3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,что a=0 b=0.
Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не равные нулю такие, что их произведение будет нуль: ,где - играет роль нулевого элемента.
4. a·0=0·а=0.
Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.
5. a(-b)=(-a)·b=-ab.
Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.
6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении.
7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов кольца образуют группу относительно умножения, которую называют мультипликативной группой кольца K и обозначают K* .
Опр. Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем .
Простейшие свойства поля
1. Т.к. поле - кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.
2. В поле нет делителей нуля,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0.
Доказательство.
Если a¹0 ,то $ a -1 . Рассмотрим a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0
3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a -1 b, или х=b/a.
Решение этого уравнения называется частным.
Примеры. 1)PÌC, P - числовое поле. 2)P={0;1};
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
).